Triângulo Retângulo e Teorema de Pitágoras


Introdução


O triângulo retângulo possui muitas relações importantes, entre elas o Teorema de Pitágoras, que mostra-se uma ferramenta muito útil em várias áreas da Física. Antes de falarmos dele, vamos relembrar algumas coisas.


O ângulo entre os segmentos de reta vermelha e azul é 90º, também chamado de “ângulo reto”. Também podemos dizer que o segmento de reta vermelha é perpendicular à azul.

Símbolo para o ângulo reto.


Triângulo retângulo é todo triângulo que possui um ângulo de 90° entre dois de seus lados, chamados de catetos. O lado oposto ao ângulo de 90° é chamado de hipotenusa.


Lembre-se!

  • 90° ângulo reto perpendicular;

  • Triângulo Retângulo: triângulo que possui um ângulo de 90° entre dois de seus lados;

  • Hipotenusa: Lado oposto ao ângulo de 90°;

  • Cateto: qualquer um dos lados que formam o ângulo de 90°.



O Teorema de Pitágoras


O teorema de Pitágoras é uma relação matemática existente entre os lados de qualquer triângulo retângulo, de forma básica, podemos dizer que: “o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos”.




O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos


(hipotenusa)2 = (cateto)2 + (cateto)2

c2 = a2 + b2


Sendo assim, se tivermos um triângulo retângulo onde um cateto vale 5 e o outro vale 12 devemos esperar que a hipotenusa valerá 13. Veja a seguir.



a = 5 ← cateto


b = 12 ← cateto



c2 = a2 + b2


c2 = 52 + 122


c2 = 25 + 144


c2 = 169



c = 13 ← hipotenusa


Ternos Pitagóricos


A palavra terno pode significar três, trio ou trindade. Sendo assim, um terno pitagórico é um conjunto de três valores inteiros que formam as medidas dos lados de um triângulo retângulo (dois valores para cada um dos catetos mais um valor para a hipotenusa). Um terno bastante famoso é o (3,4,5), muitas vezes chamado de “triângulo três-quatro-cinco”, onde valores 3 e 4 são os catetos e o valor 5 é a hipotenusa.



A seguir, uma lista com alguns poucos ternos.


(3,4,5)

(7,24,25)

(9,40,41)

(5,12,13)

(20,21,29)

(28,45,53)

(8,15,17)

(12,35,37)

(11,60,61)


Repare que não foi listado o terno (6,8,10) porque ele é um múltiplo de (3,4,5).


Alguns Usos Importantes para o Teorema de Pitágoras


Alguns problemas de Física podem requerer o uso do teorema de Pitágoras de forma indireta. Veja alguns casos a seguir.


  • Diagonal do Quadrado: podemos calcular a diagonal de um quadrado usando o teorema de Pitágoras, para tanto, vamos supor um quadrado de lado L.


  • L → Comprimento do lado do quadrado (todos os lados iguais!).

  • d → Comprimento da diagonal do quadrado.


Demonstração


DIAGONAL DO QUADRADO





  • Triângulo equilátero: um triângulo equilátero tem todos os seus lados de comprimentos iguais. Sendo assim, ao longo de sua altura, podemos traçar uma linha que divide o triângulo equilátero em dois triângulos retângulos congruentes (ou seja, com as mesmas dimensões).




  • L → Comprimento do lado do triângulo equilátero. Neste caso, será a hipotenusa do triângulo retângulo.

  • L/2 → Metade do lado L. Neste caso, será um dos catetos.

  • h → Altura do triângulo retângulo. Neste caso, será um dos catetos.

Demonstração



ALTURA DO TRIÂNGULO EQUILÁTERO



  • Diagonal do Cubo: No interior do cubo há um triângulo retângulo formado por um de seus lados (L), pela diagonal de qualquer uma das faces (Z) e pela diagonal no interior do cubo (D).



  • L → Comprimento do lado do cubo (todos os lados iguais).

  • Z → Comprimento da diagonal de qualquer uma das faces do cubo.

  • D → Comprimento da diagonal do cubo.


Demonstração


Primeiro: Calcular a diagonal do quadrado para qualquer umas das faces.




Segundo: Calcular a diagonal do cubo.



DIAGONAL DO CUBO



Exercícios Resolvidos


1) Em um triângulo retângulo os catetos valem 3 cm e 4 cm. Calcule sua hipotenusa.


Resolução


a = 3 cm

b = 4 cm





2) Em um triângulo retângulo a hipotenusa vale 113 cm e um dos catetos vale 15 cm. Calcule a medida do outro cateto.

Resolução


a = 15 cm

c = 113 cm






3) Calcule a diagonal de um quadrado de lado 5 m.

L = 5 m



Observação: veja o texto acima para a demonstração da equação .



4) Calcule a diagonal de um cubo de lado 2 m.

L = 2 m



Observação: veja o texto acima para a demonstração da equação .



5) (ENEM – 2006)

Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a

a) 1,8 m.

b) 1,9 m.

c) 2,0 m.

d) 2,1 m.

e) 2,2 m

Resolução

Olhando a figura do problema, nota-se que a parte inclinada do corrimão é a hipotenusa de um triângulo retângulo, onde um dos catetos vale 90 cm e o outro vale 120 cm (sendo a largura de cada degrau igual a 24, então temos 5 24 = 120).



Primeiro deve-se calcular o a hipotenusa do triângulo marcado em vermelho, e depois somar a este valor os 30 cm referentes ao topo da escada e outros 30 cm referentes ao pé da escada.


a = 120 cm

b = 90 cm









C = 30 + 150 + 30

C = 210 cm = 2,1 m

Portanto, o comprimento total do corrimão será igual a 2,1 m.



   Download de Ficha de Estudo: http://oneutrino.kinghost.net/moodle/course/view.php?id=9#fichas


Última atualização: Wednesday, 5 Oct 2016, 15:40