Notação Científica

Introdução

Ainda na mesma ideia discutida no capítulo de potência de dez, escrever números na forma decimal, sejam eles números grandes ou pequenos, pode ser um problema. O uso de potências de dez é parte da solução, agora veremos uma outra: a notação científica. Com potências de dez só poderemos escrever múltiplos ou submúltiplos de 10, entretanto com a notação científica podemos escrever qualquer quantidade.

Notação científica é qualquer número escrito na forma:

M \times 10^n


Na qual:

  • o M é um número decimal qualquer, chamado de mantissa;

  • e o 10n é uma potência de dez.


Todo número escrito como notação científica é composto por mantissa e potência de dez.


Alguns exemplos de números escritos em notação científica:

  • 15,4 \times 10^{5};

  • 1,2 \times 10^{-3};

  • 1,5 \times 10^{8} km (distância Terra/Sol);

  • 5,0 \times 10^{-5} m (espessura aproximada de um fio de cabelo);

  • 3,97 \times 10^{13} km (distância até a estrela mais próxima de nosso sistema solar);

  • 3,0 \times 10^{-6} m (tamanho aproximado de uma bactéria).


Ordem de Grandeza
A potência de dez presente em números escritos em notação científica, pode fornecer as proporções de certa medida. Muitas vezes não precisamos de um valor exato, mas apenas uma "ideia" do quão grande (ou pequena) é uma medida. Para tanto, podemos considerar a potência de dez mais próxima do número em questão. Veja alguns exemplos:

  • 1,2 \times 10^5 ← a ordem de grandeza deste número é 105.

  • 8,2 \times 10^{-3} ← a ordem de grandeza deste número é 10-2, pois o número em questão está mais próximo de 10-2.

  • 9,1 \times 10^{6} ← a ordem de grandeza deste número é 107, pois o número em questão está mais próximo de 107 do que de 106.
  • 95 ← a ordem de grandeza deste é 102, pois 95 está mais próximo de cem (102) do que de dez (101).

Desta forma, sendo a distância Terra/Sol de 1,5 \times 10^8 km, sua ordem de grandeza é 108 km.

Escrevendo Números na Forma de Notação Científica
Como exemplo inicial, desejamos escrever o número 13 000 000 000 (13 bilhões) em notação científica, para tanto, temos uma regra prática muito fácil de usar. No caso do número 13 bilhões, há uma vírgula após a unidade (última casa a direita). Esta vírgula não foi representada porque não há necessidade, uma vez que todas as casas decimais são zeros.

No Número 13 bilhões, não é necessário representar a vírgula depois da unidade, pois todas as casas decimais são iguais a zero.


Uma possível forma de representar o número 13 000 000 000 em notação científica, seria deslocar a vírgula para esquerda até a mantissa ficar igual a 13. Cada vez que a vírgula for movida uma casa para a esquerda, somaremos 1 ao expoente da potência de 10. Veja a animação abaixo.

13 000 000 000 = 13 x 109


Algo semelhante pode ser feito para números pequenos, por exemplo, com o número 0,0000000000343. Desta vez queremos que a mantissa seja 3,43, para tanto deveremos deslocar a vírgula para a direita, e para cada casa subtrairemos 1 do expoente. Veja outra animação.

0,0000000000343 = 3,43 x 10-11


Ainda não estabelecemos nenhuma regra para os valores que a mantissa pode assumir, mas faremos isso com a notação científica padrão na próxima seção.

Regra para números grandes (expoente positivo)

Deslocar a vírgula para esquerda, para cada casa somar 1 ao expoente


4 500 000 = 4,5 x 106


Regra para números pequenos (expoente negativo)

Deslocar a vírgula para direita, para cada casa subtrair 1 do expoente


0,000078 = 7,8 x 10-5


Notação Científica Padrão

Durante os cálculos, você pode manipular a mantissa da forma que julgar melhor, entretanto pode ser solicitado a você escrever a resposta final na forma de notação científica padrão. Neste caso, sua mantissa deverá obedecer a seguinte regra:



1 \leq mantissa < 10


Notação Científica Padrão

A mantissa precisa ser qualquer número maior ou igual a 1 e menor que 10.

Não importa a quantidade de casas decimais.


\: 1 \leq mantissa < 10 \:


Exemplos de números em notação científica padrão:

  • 1,0 \times 10^{5};

  • 1 \times 10^{5};

  • 2,5 \times 10^{17};

  • 8,3946 \times 10^{-9}.


O número 11,2 \times 10^{4} não é notação científica padrão, pois 11,2 encontra-se fora do intervalo padronizado.

Lembre-se

Procure sempre deixar a resposta final dos exercícios em notação científica padrão.

Adição/Subtração com Notação Científica

A adição ou subtração de números em notação científica seguem as mesmas regras, e só pode ser realizada caso esses números tenham potências iguais, ou seja, os expoentes das potências precisam ser iguais.

Os números a seguir não podem ser adicionados/subtraídos porque não tem potências iguais.


2,0 \times 10^{6} + 1,0 \times 10^{5}

22,1 \times 10^{-5} - 2,0 \times 10^{6}


Os números a seguir podem ser adicionados/subtraídos porque tem potências iguais.


3,1 \times 10^{12} + 1,1 \times 10^{12} = 4,2 \times 10^{12}

5 \times 10^{-5} - 4 \times 10^{-5} = 9 \times 10^{-5}


    Caso os números envolvidos na adição não tenham potências iguais, porém próximas, podemos alterá-las até que fiquem iguais. Por exemplo, devemos somar 2,0 \times 10^{6} e 1,0 \times 10^{5}, então deixaremos todos os expoentes iguais a 6. Para tanto vamos deslocar a vírgula do número 1,0 \times 10^{5} uma casa para esquerda e somar 1 ao expoente. Assim teremos:

    2,0 \times 10^{6} + 1,0 \times 10^{5} = 2,0 \times 10^{6} + 0,1 \times 10^{6} = 2,1 \times 10^{6}

    Multiplicação com Notação Científica

    Para multiplicar números em notação científica, basta multiplicar as mantissas e somar os expoentes das potências de dez.


    O mesmo vale para expoentes negativos.

    Lembre-se da regra de sinais:  - 3 + ( - 8) = - 3 - 8 = -11

    Exemplos:

    5 \times 10^{5} \cdot 3 \times 10^{4} = 15 \times 10^{5+4} = 15 \times 10^{9} = 1,5 \times 10^{10}

    2 \times 10^{3} \cdot 3 \times 10^{5} = 6 \times 10^{3+5} = 6 \times 10^{8}

    1,5 \times 10^{16} \cdot 2 \times 10^{-5} = 3 \times 10^{16+(-5)} = 3 \times 10^{16-5} = 3 \times 10^{11}

    3 \times 10^{-7} \cdot 2,5 \times 10^{-2} = 7,5 \times 10^{-7+(-2)} = 7,5 \times 10^{-7-2} = 3 \times 10^{-9}



    Divisão com Notação Científica

    Para dividir números em notação científica, devemos dividir as mantissas e subtrair os expoentes das potências de dez.


    O mesmo para expoentes negativos.


    Lembre-se da regra de sinais: 2 - ( - 6 ) = 2 + 6 = 8

    Exemplos:

    \dfrac{7 \times 10^{27}}{4 \times 10^{5}} = 1,75 \times 10^{27-5} = 1,75 \times 10^{22}

    \dfrac{6 \times 10^{35}}{1 \times 10^{5}} = 6 \times 10^{35-5} = 6 \times 10^{30}

    \dfrac{15 \times 10^{14}}{5 \times 10^{4}} = 3 \times 10^{14-4} = 3 \times 10^{10}

    \dfrac{8 \times 10^{50}}{2 \times 10^{-4}} = 4 \times 10^{50-(-4)} = 4 \times 10^{50+4} = 4 \times 10^{54}

    Exercícios Resolvidos

    1) Qual a ordem de grandeza de cada um dos números mostrados abaixo?

    a) 3,5 \times 10^{13} → Ordem de grandeza é 10^{13}

    Basta pegar somente a potência de dez, ou seja, 10^{13}.

    b) 2,3 \times 10^{-5} → Ordem de grandeza é 10^{-5}

    c) 9,8 \times 10^{3} → Ordem de grandeza é 10^{4}

    d) 75 000 000 000  → Ordem de grandeza 10^{11}

    Para encontrarmos a ordem de  grandeza  de 75 000 000 0000, precisamos transformar este número para notação científica padrão. Desta forma temos: 75 000 000 0000 = 7,5 \times 10^{10}. Feito isso percebemos que 7,5 \times 10^{10} é mais próximo de 10^{11}


    2) Expresse os números abaixo em notação científica padrão.

    a) 89 000 000 = 8,9 x 107



    b) 391 000 = 3,91 x 105



    c) 35 000 000 000 000 000 000 = 3,5 x 1019



    d) 0,000065 = 6,5 x 10-5



    e) 0,000000000027



    f) 274,9 x 108 = 2,749 x 1010


    g) 0,004 x 10-3 = 4,0 x 10-6

    h) 301 x 10-8 = 3,01 x 10-6


    3) Some ou subtraia os números abaixo, de acordo com o indicado.

    a) 3,5 x 108 + 1,5 x 107 = 3,5 x 108 + 0,15 x 108 = 3,65 x 108

    Obs.: Para ficarmos com todas as potências de dez iguais, façamos 1,5 x 107 = 0,15 x 108.

    b) 0,5 x 1010 + 1,3 x 1012 =  0,005 x 1012 + 1,3 x 1012 = 1,305 x 1012

    c) 8,0 x 10-20 - 1,5 x 10-18 = 0,08 x 10-18 - 1,5 x 10-18 = - 1, 42 x 10-18

    Obs.:  8,0 x 10-20 é menor que 1,5 x 10-18.


    4) Realize as operações abaixo.

    a) 3 \times 10^{11} \cdot 3 \times 10^{4} = 9 \times 10^{11+4} = 9 \times 10^{15}

    b) 1,5 \times 10^{-38} \cdot 5 \times 10^{12} = 7,5 \times 10^{-38+12} = 7,5 \times 10^{-26}

    c) \dfrac{30 \times 10^{-60}}{10 \times 10^{8}} = 3 \times 10^{-60-8} = 3 \times 10^{-68}


    Última atualização: Saturday, 14 Jan 2017, 11:32