Vetores - Exercícios Resolvidos - Parte 2


IR PARA VETORES - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - PARTE 1


Exercício 1

Dado os vetores velocidades mostrados abaixo, qual o módulo da resultante entre eles? (Cada quadrado tem lado equivalente a 0,5 m/s.)

Figura 1

Resolução

Sendo cada quadrado equivalente a 0,5 m/s, então teremos:

Vetor \vec{V}_1:

  • Ocupa 5 quadrados, logo seu módulo é V_1 = 5 \times 0,5 = 2,5 m/s

Vetor \vec{V}_2:

  • Ocupa 4 quadrados, logo seu módulo é V_2 = 4 \times 0,5 = 2 m/s
Agora, vamos calcular o módulo da resultante entre \vec{V}_1 e \vec{V}_2, chamado aqui de vetor \vec{V}, para tanto basta usar o Teorema de Pitágoras.

c^2 = a^2 + b^2

V^2 = V_1^2 + V_2^2

V^2 = 2,5^2 + 2^2

V^2 = 6,25 + 4

V = \sqrt{10,25}

V ≈ 3,2 m/s

Portanto, o módulo do vetor velocidade resultante é V = 3,2 m/s.

Figura 2

O vetor resultante \vec{V}, mostrado em vermelho.


Exercício 2

Dado os vetores acelerações mostrados abaixo, qual o módulo da resultante entre eles? (Cada quadrado tem lado equivalente a 2 m/s2.)


Figura 3

Resolução

Sendo cada quadrado equivalente a 2 m/s2, então teremos:

Vetor \vec{a}_1:

  • Ocupa 5 quadrados, logo seu módulo é a_1 = 3 \times 2 = 6 m/s2

Vetor \vec{a}_2:

  • Ocupa 4 quadrados, logo seu módulo é a_1 = 4 \times 2 = 8 m/s2
Agora, vamos calcular o módulo da resultante entre \vec{a}_1 e \vec{a}_2, chamado aqui de vetor \vec{a}, para tanto basta usar o Teorema de Pitágoras.

c^2 = a^2 + b^2

c^2=a_1^2+a_2^2

a^2 = 6^2 + 8^2

a^2 = 36 + 64

a = \sqrt{100}

a = 10 m/s2

Portanto, o módulo do vetor aceleração resultante é a = 10 m/s2.

Figura 4

O vetor resultante \vec{a}, mostrado em vermelho.


Exercício 3

Calcule a resultante entre os vetores, sabendo que seus módulos são: A = 5 cm e B = 3 cm.


Figura 5

Resolução

O vetor resultante entre \vec{A} e \vec{B}, aqui chamado de \vec{R}, pode ser calculado pelo Teorema de Pitágoras. Observe a Figura 6 e note que os vetores formam um triângulo retângulo.

c^2 = a^2 + b^2

A^2 = B^2 + R^2

R^2 = A^2 - B^2

R^2 = 5^2 - 3^2

R^2 = 25 - 9

R^2 = \sqrt{16}

R = 4 cm

Figura 6

O vetor resultante \vec{R}, mostrado em vermelho.


Exercício 4

Calcule a resultante entre os vetores, sabendo que seus módulos são: F_1 = 1,5 unidades e F_2 = 2 unidades.


Figura 7

Resolução

O vetor resultante entre \vec{F_1} e \vec{F_2}, aqui chamado de \vec{R}, é a hipotenusa de um triângulo retângulo, sendo assim pode ser calculado pelo Teorema de Pitágoras. Veja a Figura 7.

c^2 = a^2 + b^2

R^2 = F_1^2 + F_2^2

R^2 = 1,5^2 + 2^2

R^2 = 2,25 + 4

R^2 = \sqrt{6,25}

R = 2,5 unidades

Figura 8

O vetor resultante \vec{R}, mostrado em vermelho.


Exercício 5

Calcule os módulos das componentes \vec{V_X} e \vec{V_Y}, sabendo que o módulo de \vec{V} é 5 m/s e forma um ângulo de θ = 30° com o eixo X.

Dados:

  • sen(30°) = \dfrac{1}{2};
  • cos(30°) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Figura 9

Resolução

As componentes \vec{V_X} e \vec{V_Y} são as projeções do \vec{V} sobre os eixos X e Y do plano cartesiano, e formam um triângulo retângulo. Sendo assim, podemos usar as funções seno e cosseno. Veja a Figura 10.

Observação:
  • CA = Cateto Adjacente;
  • CO = Cateto Oposto;
  • H = Hipotenusa.

cos\:θ = \dfrac{CA}{H}

CA = H \cdot cos\:θ

V_X = V \cdot cos\:θ

V_X = 5 \cdot cos(30º)

V_X = 5 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}

V_X = 2,5 \sqrt{3} m/s

sen\:θ = \dfrac{CO}{H}

CO = H \cdot sen\:θ

V_Y = V \cdot sen\:θ

V_Y = 5 \cdot sen(30º)

V_Y = 5 \cdot 0,5

V_Y = 2,5 m/s



Figura 10


Exercício 6

Seja o ângulo θ = 45° e o módulo do \vec{F} igual a 12 m/s, qual os módulos das componentes \vec{F_X} e \vec{F_Y}?

Dados:

  • sen(45°) = cos(45°) ≈ 0,71

Figura 11

Resolução

As componentes \vec{F_X} e \vec{F_Y} são as projeções do \vec{F} sobre os eixos.

Observação:
  • CA = Cateto Adjacente;
  • CO = Cateto Oposto;
  • H = Hipotenusa.

cos\:θ = \dfrac{CA}{H}

CA = H \cdot cos\:θ

F_X = F \cdot cos\:θ

F_X = 12 \cdot cos(45º)

F_X = 12 \cdot 0,71

F_X = F_Y = 8,52 m/s


Figura 12


Exercício 7

Calcule o módulo da resultante entre os vetores mostrados na figura, sendo θ=60°?

Dados:

  • cos(60°) = 0,5
  • A = 3
  • B = 2

Figura 13

Resolução

Neste caso, não temos um triângulo retângulo, logo o Teorema de Pitágoras não pode ser aplicado. Sendo assim, usaremos a Lei dos Cossenos.

c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos(θ)

R^2 = A^2 + B^2 - 2 \cdot A \cdot B \cdot cos(60º)

R^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 0,5

R^2 = 9 + 4 - 6

R^2 = 7

R = \sqrt{7}

R = 2,64




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Última atualização: Thursday, 21 Sep 2017, 20:20