Vetores - Exercícios Resolvidos - Parte 1

Exercício 1

Na figura 1, cada quadrado tem lado de 1 unidade. Sobre os vetores mostrados ali, determine:

Figura 1

a) Quais têm a mesma direção?

Resolução

Os vetores estarão na mesma direção, se estiverem na mesma linha ou paralelos (independente do sentido).

  • Vertical: \vec{A}, \vec{G}, \vec{H};
  • Diagonal para direita: \vec{B}, \vec{F};
  • Horizontal: \vec{C}, \vec{D}, \vec{e}.

b) Quais têm o mesmo sentido?

Resolução

Os vetores terão o mesmo sentido se "vão para o mesmo lugar".

  • Para cima:\vec{A}, \vec{G}, \vec{H};
  • Para cima: \vec{B}, \vec{F};
  • Para direita: \vec{C}, \vec{D}.

c) Quais têm o mesmo módulo (intensidade)?

Resolução

Os vetores terão o mesmo módulo se tiverem o mesmo tamanho.

  • \vec{A}, \vec{C}, \vec{D}, \vec{E}, \vec{H};
  • \vec{B}, \vec{F}.

d) Quais são iguais?

Resolução

Os vetores serão iguais se tiverem o mesmo módulo (tamanho na figura), direção e sentido.

  • \vec{A}, \vec{H};
  • \vec{B}, \vec{F};
  • \vec{C}, \vec{D}.
Observação: o vetores \vec{D} e \vec{E} têm os mesmos módulos e mesmas direções, porém sentidos contrários.


e) O módulo do vetor \vec{\bf A}?

Resolução

Neste caso basta contar a quantidade de quadrados.

  • A = 2 unidades

f) O módulo do vetor \vec{B}?

Resolução

Não basta contar os quadrados, pois o vetor encontra-se na diagonal de um retângulo. Logo, deveremos usar o Teorema de Pitágoras (saiba mais lendo aqui).

Figura 2

c^2 = a^2 + b^2

c^2 = 1^2 + 2^2

c^2 = 1 + 4

c = \sqrt{5}

c ≈ 2,24 unidades

O módulo do vetor é aproximadamente B = 2,24 unidades.



Exercício 2

Na figura 3, cada quadrado tem lado de 1 unidade. Sobre os vetores mostrados ali, determine:

Figura 3

a) Quais têm a mesma direção?

Resolução

Os vetores estarão na mesma direção, se estiverem na mesma linha ou paralelos (independente do sentido).

  • Vertical: \vec{A}\vec{B}, \vec{G};
  • Diagonal para direita: \vec{C}\vec{E};
  • Horizontal: \vec{D}\vec{F}\vec{H}.

b) Quais têm o mesmo sentido?

Resolução

Os vetores terão o mesmo sentido se vão para o "mesmo lugar".

  • Para cima: \vec{A}\vec{B}, \vec{G};
  • Para direita: \vec{D}\vec{F}.

c) Quais têm o mesmo módulo (intensidade)?

Resolução

Os vetores terão o mesmo módulo se tiverem o mesmo tamanho.

  • \vec{A}\vec{D}\vec{F}\vec{G}\vec{H};
  • \vec{C}\vec{E}.

d) Quais são iguais?

Resolução

Os vetores serão iguais se tiverem o mesmo módulo (tamanho na figura), direção e sentido.

  • \vec{A}, \vec{G};
  • \vec{D}, \vec{F}.
Observação: o vetores \vec{C} e \vec{E}, \vec{D}\vec{H},  têm os mesmos módulos, mesma direção, porém sentidos contrários.


e) O módulo do vetor \vec{B}?

Resolução

Neste caso basta contar a quantidade de quadrados.

  • B = 5 unidades

f) O módulo do vetor \vec{E}?

Resolução

Não basta contar os quadrados, pois o vetor encontra-se na diagonal de um retângulo. Logo, deveremos usar o Teorema de Pitágoras (saiba mais lendo aqui).

Figura 4

c^2 = a^2 + b^2

c^2 = 1^2 + 2^2

c^2 = 1 + 4

c = \sqrt{5}

c ≈ 2,24 unidades

O módulo do vetor é aproximadamente E = 2,24 unidades.



Exercício 3

Com relação aos vetores mostrados abaixo, marque verdadeiro ou falso nas afirmações.

Figura 5

a) \vec{A} = \vec{B} ( V )

Obs: Os vetores \vec{A} e \vec{B} são iguais pois têm o mesmo módulo, direção e sentido.

b) \vec{A} = \vec{C} ( F )

Obs: Os vetores \vec{A} e \vec{C} não são iguais, pois têm sentidos diferentes.

c) A = B ( V )

Obs: O módulo de A é igual ao módulo de B.

d) A = C ( V )

Obs: O módulo de A é igual ao módulo de C.


Exercício 4

Calcule o módulo do vetor deslocamento resultante entre os vetores mostrados na Figura 6. Considere o lado de cada quadrado como sendo 1 unidade.



Figura 6
Resolução

O vetor resultante estará entre as marcações de "início" e "fim", formando a diagonal de um retângulo (veja a Figura 7). Logo, seu módulo pode ser calculado pelo Teorema de Pitágoras.

c^2 = a^2 + b^2

c^2 = 2^2 + 1^2

c^2 = 4 + 1

c = \sqrt{5}

c ≈ 2,24 unidades

O vetor resultante tem módulo 2,44 unidades.

Figura 7

Obs.: 1 u = 1 unidade, 2 u = 2 unidades.


Exercício 5

Calcule o módulo do vetor deslocamento resultante entre os vetores mostrados na Figura 7. Considere o lado de cada quadrado como sendo 1 unidade.



Figura 8
Resolução

O vetor resultante estará entre as marcações de "início" e "fim", formando a diagonal de um retângulo (veja a Figura 9). Logo, seu módulo pode ser calculado pelo Teorema de Pitágoras.

c^2 = a^2 + b^2

c^2 = 3^2 + 4^2

c^2 = 9 + 16

c = \sqrt{25}

c = 5 unidades

O vetor resultante tem módulo 5 unidades.

Figura 9


Exercício 6

Uma pessoa percorre 117 m na Rua da Igreja, depois vira na Rua da Árvore, perpendicular à primeira, percorrendo mais 44 m. Calcule o módulo do vetor deslocamento resultante.



Figura 10

Resolução

Como o deslocamento entre as ruas é perpendicular (90°), então podemos usar o Teorema de Pitágoras para resolver este exercício (veja a Figura 11).

c^2 = a^2 + b^2

c^2 = 117^2 + 44^2

c^2 = 13689 + 1936

c = \sqrt{15625}

c = 125 m

O vetor resultante tem módulo 125 metros.

Figura 11


Exercício 7

Um carro percorre uma distância de 72 km ao longo de uma estada, no sentido sul-norte, depois pega uma estrada secundária, percorrendo mais 65 km, no sentido leste-oeste. Calcule o módulo do deslocamento resultante.



Figura 12

Novamente, como o deslocamento entre as estradas é perpendicular (90°), então podemos usar o Teorema de Pitágoras para resolver este exercício (veja a Figura 13).

c^2 = a^2 + b^2

c^2 = 72^2 + 65^2

c^2 = 5184 + 4225

c = \sqrt{9409}

c = 97 km

O vetor resultante tem módulo 97 quilômetros.

Figura 13


Exercício 8

Um avião, partindo de São Paulo, faz uma conexão em Belo Horizonte, e depois segue para Brasília. As distâncias entre cada uma das cidades estão mostradas na Figura 14, sendo que o deslocamento SP-BH é perpendicular ao deslocamento BH-DF. Calcule o módulo do vetor deslocamento resultante.

Figura 14


A Figura 15 mostra que os vetores formam um triângulo retângulo (observe o símbolo do ângulo reto), logo podemos aplicar o Teorema de Pitágoras mais uma vez.

c^2 = a^2 + b^2

c^2 = 494^2 + 621^2

c^2 = 244036 + 385641

c = \sqrt{629677}

c ≈ 793,5 km

O módulo do vetor resultante é, aproximadamente, 793,5 quilômetros.

Figura 15

Vetor deslocamento resultante em vermelho.


IR PARA VETORES - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - PARTE 2


Última atualização: Tuesday, 12 Sep 2017, 16:41